Combinatorics of Coxeter Groups pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer-Verlag New York Inc

作者:Bjorner, Anders/ Brenti, Francesco

出品人:

页数:363

译者:

出版时间:

价格:864.00元

装帧:HRD

isbn号码:9783540442387

丛书系列:

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《组合数学中的李群与李代数》 本书深入探讨了李群和李代数在组合数学中的迷人应用。它为读者提供了一个清晰的视角，阐述了抽象的代数结构如何能够生动地转化为丰富的组合对象和计数问题。本书旨在为具有一定代数基础和组合学知识的读者提供一个坚实的桥梁，连接这两个看似独立但实则深刻相关的领域。 全书结构严谨，从基础概念出发，逐步深入到更复杂的理论和应用。 第一部分：基础理论回顾与铺垫 在开始李群和李代数与组合学交叉的精彩旅程之前，本部分首先回顾了组合数学中的一些基本概念，包括但不限于：集合、计数原理、排列组合、母函数以及一些初步的图论知识。这些内容将为后续章节的讨论打下坚实的基础。 同时，本部分也将对李群和李代数的核心概念进行概述，重点介绍它们的定义、基本性质、分类以及一些常见的例子，如一般线性群、特殊线性群、正交群等。此外，还将介绍李代数与李群之间的对应关系，以及包络代数等关键工具。这部分内容旨在确保读者能够理解后续章节中将使用的代数语言。 第二部分：李群与组合对象 本部分是本书的核心，重点在于展示李群如何孕育出各种各样的组合对象。 置换群与李代数: 我们将从最基本的置换群入手，探讨如何通过李代数的语言来刻画和分析置换群的性质。例如，对称群 $S_n$ 的李代数（即全形代数）与某种形式的二项式系数的生成函数之间存在深刻的联系。我们将详细分析这种联系，并介绍如何利用李代数的方法来解决关于置换的计数问题，例如计算特定模式出现的次数。 二项式结构与群表示: 本章将重点研究那些具有丰富二项式结构的群，并展示它们如何自然地引出各种组合对象。例如，我们将会看到，某些李群的表示理论与分拆数、Young图板以及相关的组合多项式（如Schur多项式）有着紧密的联系。我们将深入讲解Young图板的结构如何对应于特定李群表示的基，以及Schur多项式如何在表示理论中扮演核心角色。 特殊线性群与矩阵组合学: 特殊线性群 $SL(n, mathbb{C})$ 及其李代数 $mathfrak{sl}(n, mathbb{C})$ 是研究的重点。我们将探讨其在矩阵组合学中的应用，例如，利用群的表示理论来计数具有特定性质的矩阵，如上三角矩阵、下三角矩阵，或者具有特定行列式的矩阵。我们将介绍Wey尔群与 $SL(n)$ 的关系，以及如何利用其几何结构来理解组合计数。 旗流形与代数几何的交汇: 旗流形是李群作用下的轨道空间，它们是代数几何中的重要对象，同时也是组合学的宝库。本章将介绍旗流形的定义，以及李群在其上的作用。我们将重点研究旗流形的基环（或者更一般地，K-理论群）的组合性质，例如，如何利用特定的基（如monomial基）来理解并计数旗流形上的几何对象，如 Schubert 细胞。我们将深入阐述 Schubert 演算，这是连接李群、旗流形和组合计数的重要工具。 第三部分：李代数与计数问题 本部分将进一步深化李代数在解决组合计数问题中的作用，并引入更高级的概念。 根系与组合对象: 根系是李代数结构的重要组成部分，它们本身就具有深刻的组合意义。本书将介绍根系的定义、分类以及它们的几何和组合性质。我们将展示如何利用根系的结构来理解和计数与李代数相关的组合对象，例如Weyl群的元素、以及基于根系的组合对象，如多项式。 Weyl群与组合恒等式: Weyl群是与根系相关联的有限群，它们在李群表示理论和组合学中扮演着至关重要的角色。本章将详细介绍Weyl群的定义、性质及其在李群表示理论中的作用。我们将重点分析Weyl群如何用于推导重要的组合恒等式，例如Macdonald恒等式以及其他与多项式和求和相关的恒等式。 李代数表示与多项式计数: 本章将聚焦于李代数表示论在组合计数中的应用。我们将探讨如何通过研究李代数的不可约表示来计数具有特定结构的组合对象。例如，我们将讨论如何利用 Schur-Weyl 对偶性来连接张量积的表示和对称群的表示，从而间接计数与矩阵和张量相关的组合对象。 组合代数结构与生成函数: 本章将探讨一些更抽象的代数结构，它们在组合学中扮演着重要角色，并与李代数有着深刻的联系。例如，我们将研究对称函数代数、外代数等，并展示它们如何通过李代数的张量积和表示理论来生成。我们将深入分析如何利用这些代数结构及其与李代数的联系来构建和理解各种组合对象的生成函数。 第四部分：进阶主题与应用 在掌握了基础理论和核心应用之后，本部分将拓展到更高级的主题和相关的应用领域。 量子群与组合学: 量子群是李群和李代数概念的超代数推广，它们在近年来的组合学研究中扮演着越来越重要的角色。本章将介绍量子群的基本概念，并探讨它们在组合学中的新兴应用，例如与量子群表示相关的组合多项式，以及它们在统计力学和可积系统中的联系。 组合学在其他领域的应用: 本章将简要介绍李群和李代数在组合学之外的其他领域的应用，例如在算法设计、概率论、甚至某些物理学分支中的应用，以展示该领域研究的广泛性和重要性。 本书通过大量的例子和练习，力求使抽象的代数概念变得直观易懂。书中出现的每一个重要定理和引理都配有详细的证明，并辅以丰富的说明性例子。我们鼓励读者在阅读过程中积极思考，并尝试解决书中的练习题，从而加深对理论的理解和掌握。 本书的写作风格力求清晰、严谨，旨在成为一本既具有学术深度，又易于读者理解的参考书。我们希望本书能够激发读者对李群、李代数与组合数学之间深刻联系的兴趣，并为他们在这一领域的研究提供有益的指导。

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作为一名长期在相关领域探索的人士，我深知一本优秀的参考书，其价值往往体现在它对前沿研究的覆盖深度上。这部著作在某些章节的讨论，特别是涉及到某些特定类型的李群和代数结构的部分，其深度已经超越了我以往接触到的许多经典教材。作者似乎并未满足于仅仅复述已有的成果，而是融入了许多现代研究的视角和方法论。我注意到一些在近十年才逐渐受到关注的结构，在这里已经被系统地纳入了理论框架之内，这对于那些希望将所学知识应用于当前研究课题的读者来说，无疑是一份及时的“补给”。这种对时效性的把控，使得这本书不仅是一部历史性的总结，更是一部面向未来的工具书。尽管内容密度极高，需要反复研读，但这种信息量的饱和度，正是它区别于其他同类书籍的关键所在。我期待能在后续的章节中，看到更多关于计算方法和算法实现的讨论，因为理论与实践的结合，才是数学生命力的最终体现。

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我拿到这本书时，心中最关切的便是它在处理核心概念时是否能够做到既保持其数学上的严谨性，又不至于让初学者望而却步。从前几章的铺垫来看，作者显然花费了大量精力来构建一个平滑的认知曲线。他们并没有急于抛出最深奥的定理，而是耐心地从基础的群论概念入手，逐步引入了反射群和根系的直观几何图像。这种循序渐进的教学方法，对于我们这些需要跨越不同数学分支进行学习的读者来说，是极其宝贵的。更难得的是，书中穿插了许多被精心挑选的例子，这些例子并非是那种孤立的、为了演示定理而存在的演示品，而是真正能够帮助读者建立起对抽象结构直觉认知的桥梁。这使得原本感觉遥不可及的群作用和不变式理论，在笔者的引导下，逐渐变得触手可及。我尤其赞赏作者在证明的详略取舍上的平衡感，必要的细节一概不缺，而对于众所周知的引理，则点到为止，保持了阅读的流畅性。

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从一个长期使用数学书籍的读者的角度来看，这本书的附加价值常常隐藏在那些看似不起眼的细节里。我留意到，每章末尾的“进一步阅读”和“历史注释”部分，都做得极为出色。这些注释不仅仅是简单的文献引用，它们更像是作者们对该领域发展历程的私人导览，指出了关键转折点和不同学派之间的细微分歧。对于一个希望建立起对该领域宏观历史感的人来说，这比单纯的定理罗列要重要得多。此外，书中对一些经典证明的重构也值得称赞，它们在保持原意的基础上，常常采用了更清晰、更现代的逻辑路径，这对于习惯了旧有教科书表达方式的读者，提供了一个绝佳的“现代化”视角来重新审视这些基石性成果。总而言之，这本书不仅是一本学习资料，更像是一部内含丰富解读和背景知识的“百科全书”，值得在书架上占据一个重要的位置，并时常翻阅以深化理解。

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这本书的作者群体现出了一种罕见的学术合力，他们的写作风格在保持高度一致性的同时，又微妙地反映出各自领域的专长。例如，在涉及几何学解释的部分，行文就显得尤为灵动和富有空间想象力；而当探讨到纯粹的代数运算和分类问题时，语言则变得异常凝练和精确，如同精密的机械图纸。这种“多维”的叙事策略，极大地丰富了读者的体验。我感觉自己不是在阅读一份单调的学术报告，而是在参与一场由几位大师共同主持的、层层递进的研讨会。不同视角的碰撞，使得原本可能因单一视角而产生的理解盲点得到了有效的弥补。这种跨越不同数学分支的深度整合，是本书最大的亮点之一，它成功地将“群”这一抽象概念，置于一个更加广阔和相互关联的数学图景之中进行考察。

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这本书的装帧设计着实令人眼前一亮，封面那种深邃的墨蓝底色搭配着烫金的标题字体，透露出一种古典而又严谨的学术气质。初次翻开，那种厚实的纸张触感就让人感觉它并非是那种轻薄的入门读物，而是蕴含着扎实内容的重量级著作。我特别欣赏它在排版上的用心，几何图形和数学符号的展示清晰有力，即便是面对复杂的代数结构，也能通过恰当的留白和字体选择，降低阅读的压迫感。虽然我还没有深入到每一个章节的数学细节中，但仅仅是浏览其目录和索引部分，就能感受到作者在结构组织上的匠心独运。它似乎将一个庞大而抽象的数学领域，用一种近乎建筑学般精确的框架搭建了起来，让人对接下来要探索的知识殿堂充满期待。这种视觉上的良好体验，无疑是激励读者沉下心来攻克那些晦涩理论的有力助手。我希望能从这本书中，不仅获得知识的滋养，更能体会到数学美学上的愉悦。

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Coxeter群的组合学，用纯代数观点介绍Coxeter群，内容处理得相当精致，可以与Humphrey的几何观点的参考书互补：包括Bruhat序与弱序，Kazhdan-Lusztig多项式与表示等等，过于细致的组合结构暂时不作要求。

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和大部分组合的书一样，门槛较低，但在每张的Notes里面都交代了相关的历史和重要的结论和猜想。但就Coxeter群的基础而言，Humphreys那本可能更适合一点，这本主要强调了和组合相关的一些话题。需要指出的是，关于Kazhdan-Lusztig多项式那章中的组合解释实际并没有什么实质性的作用。

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